这篇文章是csapp第二章第四节的阅读笔记。

接下来看看浮点数的表示。

1. 二进制小数

首先看看有小数部分的二进制数：
$$
b_mb_{m-1}\cdots b_1b_0.b{-1}b{-2}\cdots b_{-n}
$$
和无符号整数类似，这个二进制小数的值可以这样计算：
$$
b=\sum_{i=-n}^m2^i\times b_i
$$
比如：$101.11_2=1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0+1\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}=5\frac{3}{4}$。

2. IEEE浮点数表示

使用上面的方法无法表达很大的数，因此使用类似$x\times 2^y$的形式来表示。

IEEE浮点数就是使用这种形式：$V=(-1)^s\times M\times 2^E$。

• $s$：表示符号（sign），如果$s=0$代表这个数是正数；$s=1$表示负数；
• $M$：尾数（significant），是一个二进制小数，范围是1到$2-\epsilon$或0到$1-\epsilon$；
• $E$：阶码（exponent），将整个数的值乘以$2^E$。

这样一个浮点数的二进制表示就有三个部分。下图表示的是C语言中单精度浮点数float和双精度浮点数double的二进制形式：

即使用一个bit表示$s$，k个bit表示$E$和n个bit表示$M$。其中单精度下$k=8,n=23$，双精度下$k=11,n=52$。

使用上面的格式编码的浮点数，对应的值有三种情况。

2.1 规格化的值

这是最普通的情况，这时exp既不都是0也不都是1，这时，阶码$E=e-Bias$，其中$e$就是exp对应的十进制数，而$Bias$是$2^{k-1}-1$，单精度下是127，双精度下是1023。

同时，尾数$M=1+f$，其中$f$就是frac部分编码的 。这样$M$的二进制形式就是$1.f{n-1}f{n-2}\cdots f_0$。

2.2 非规格化的值

当exp全是0时，这个浮点数就是非规格化的值。这时。阶码$E=1-Bias$，而尾数$M=f$。

非规格化的值可以表示0。规格化的值不能表示0因为尾数$M=1+f>0$。当exp和frac都是0时就表示0。同时$s$的存在，还可以表示-0.0和+0.0。

非规格化的值还可以表示非常接近0的值。

2.3 特殊值

当exp都是1,的时候，可以表示一些特殊值。比如frac都是0的时候，可以表示无穷。同时根据$s$的值可以表示正无穷和负无穷。

当frac不全是0的时候，表示NaN，not a number。这个值可以表示$\sqrt{-1}$和$\infty-\infty$的值。

3. 示例数字

下面的表格就演示了IEEE浮点数的表示方法（其中k=4，n=3，Bias=7）：

使用这种方式，可以保证随着二进制编码的递增，对应的浮点数的值也是递增的（负数反过来）。

这样对于浮点数的排序就可以直接对二进制编码进行排序了。

同时，对于非规格化我们使用$1-Bias$作为$E$，过渡到规格化时使用$e-Bias$，可以看到一个渐进递增的关系。

作为一个例子，下面演示把一个整数编码转换成对应的浮点数编码。

1. 整数3510593的十六进制编码是0x00359141，把它转换成对应的单精度编码。

2. 首先二进制编码是：0000,0000,0011,0101,1001,0001,0100,0001；

3. 可以表示成$1.1010,1100,1000,1010,0000,1_2\times 2^{21}$；

4. 那么位数M就是1.1010,1100,1000,1010,0000,1，需要右移21位，所以$E=21$；

5. 这是一个规格化的数，所以f就是0.1010,1100,1000,1010,0000,1；

6. 单精度下frac一共23位，所以f需要补0：0.1010,1100,1000,1010,0000,100，这样就得到了frac的编码；

7. 规格化下$E=e-Bias$，其中$Bias=127$，所以$e=21+127=148=1001,0100_2$，所以exp的编码就是1001,0100；

8. 最后这是一个正数，所以$s=0$，得到对应浮点数的编码：0100,1010,0101,0110,0100,0101,0000,0100，十六进制就是0x4A564504。

4. 舍入（Rounding）

因为精度和位数的限制，浮点数只能近似地表示实数运算，所以浮点数运算涉及到一个舍入的问题。下表展示了四种舍入的方式：

其中后三种都好理解，不好理解的是第一种：Round-to-even。

为什么要向偶数舍入呢？考虑这个场景。我们需要计算一组数的平均数，如果采用下面的三种舍入方法，那么对于同样符号（正负）的数来说，舍入的方向是一样的，这样在计算平均值的时候带来的偏差会比较大。相反，如果使用第一种，即向偶数舍入，那么一组数大概率50%的数向上舍入50%的数向下舍入，平衡了舍入带来的偏差。不过这种舍入方式计算的平均值也比真实值略高一些。

5. 浮点数运算

IEEE浮点数的运算是这样的，将两个浮点数当做看作两个实数$x,y$，对于加法就计算$Round(x+y)$。也就是先计算然后舍入。

不过由于有限的精度，可以不需要完全计算出结果，只要精度够了即可。

像有符号和无符号整数的加法一样，浮点数的加法也构成一个阿贝尔群，只不过由于舍入的存在，令$x+^fy$定义为$Round(x+y)$，需要考虑如下的特点：

• 由于溢出，$x+^fy$可能得到无穷；

• 可交换：$x+^fy=y+^fx$；

• 不可结合：$(x+^fy)+^fz$和$x+^f(y+^fz)$不一定相等。比如(3.14+1e10)-1e10的结果是0.0，而3.14+(1e10-1e10)的结果是3.14；

• 由于不可结合，因此编译器对于浮点数就不能做一些优化。比如：

  x = a + b + c;
  y = b + c + d;

  就不能优化成：

  t = b + c;
  x = a + t;
  y = t + d;

• 浮点数加法满足单调性：如果$a\geq b$，那么对于不是NaN的x来说，有$x+^fa\geq x+^fb$；

浮点数的乘法也具有和浮点数的加法一致的上述特征。同时，对于浮点数乘法来说，$a\ast ^fa\geq0$，这对于无符号和有符号整数的乘法来说不满足。

6. C语言中的浮点数

C语言中有两种浮点数：float和double，两者在和int做类型转换时，原则如下：

• int转float：不会溢出，但是会舍入；
• int或float转double：没有精度损失；
• double转float：值可能会变成正无穷或负无穷，因为可表示范围小了，同时也会有舍入，因为精度也小了；
• float或double转int：值会向0舍入。比如1.999变成1，-1.999变成-1。也有可能溢出，不过C语言没有规定溢出后的int值，与Intel兼容的处理器会将结果指定为$TMin_w$。转换浮点数到整数的时候，如果找不到一个合理的值，就使用这个值。因此(int) +1e10的结果是-2147483648。

通过下面的几个例子做一下练习（其中x，f和d分别是int，float和double类型的值）：

注意：将大的浮点数转换成整数是一个常见的错误。